Pi greche

Pi greche
Simbole	π
Valore	3,14159 26535 89793...
Frazione condinue	${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}$
'Nzieme	trascendende
Categoria:Costanti fisiche

'A costante matemateche π (se scrive pi addò le lettere greche non ge sonde disponibbele) jè ausate 'nu sacche jndr'à matemateche e jndr'à fiseche. Jndr'à sciumetrie piane, π jè definite cumme 'u rapporte 'mbrà 'a circonferenze e 'u diametre de 'nu cerchie, o pure cumme l'aree de 'nu cerchie de raggie 1. Assaje libbre muderne de analise matemateche parlane d'u π ausanne le funzione trigonometreche, pè esembie cumme 'u cchiù piccele numere strettamende positive pè cui sen(x)=0 oppure 'u cchiù piccele numere ca divise pè 2 annulle cos(x). Totte le definizione sonde equivalende.

Simbole de pi greche

π jè canosciute pure cumme 'a costande de Archimede (non ge sonde da confondere cu le numere de Archimede), 'a costande de Ludolph o numere de Ludolph. Condrariamende a n'otre idee comune, π non g'è 'na costande fiseche o naturale, quanne piuttoste 'na costande matemateche definite jndre 'nu mode astratte, 'ndependente da le mesure de carattere fiseche.

Le prime 64 cifre decimale de π sonde (sequenze A000796 d'u OEIS) :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592

Probbietà

'U rapporte 'mbrà 'a lunghezze d'a circonferenze de 'na rote e 'u soje diametre jè π

π jè 'nu numere irrazionale, non ge pòte accussì esse scritte cumme quoziende de dò 'ndere, cumme fù fatte vedè jndr'ô 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, jè 'nu numere trascendende (ce vuè dì ca non g'è 'nu numere algebriche): quiste fatte jè state pruvate da Ferdinand von Lindemann jndr'ô 1882. Quiste signifeche ca non ge sonde polinomie cu coefficiende 'ndere o razionale de cui π jè radice. De conseguenze, jè 'mbossibbele esprimere π ausanne 'nu numere finite de 'ndere, de fraziune e de le lòre radice.

Stu resultate stabbilisce a fortiori 'a 'mbossibbeletà d'a quadrature d'u cerchie, cioè 'a costruzione, cu l'ause sulamende de righe e combasse, de 'nu quadrate d'a stesse arèe de 'nu certe cerchie.

Formule ca sonde 'n relaziune cu 'u π

Geometrie

Pe approfondimende, 'ndruche 'a vôsce geometrie.

• 'A circonferenze de 'nu cerchie o de 'na sfere dee ragge r:

$C=2{\pi }r$

• L'aree de 'nu cerchie de ragge r:

$A={\pi }{r^{2}}$

• L'aree de 'na ellisse de semiasse a e b:

$A={\pi }ab$

• 'U volume de 'na sfere de ragge r:

$V={\frac {4}{3}}{\pi }{r^{3}}$

• 'A superficie de 'na sfere de ragge r:

$S=4{\pi }{r^{2}}$

• 'U volume de 'nu cilindre de altezze h e ragge r:

$V={\pi }{r^{2}}h$

• L'aree d'a superficie de 'nu cilindre de altezze h e ragge r:

$S=2{\pi }r\cdot (r+h)$

• Angole: 180 grade sonde auguale a π radiante.

Analese

Pe approfondimende, 'ndruche 'a vôsce analese matemateche.

• Formule de Viète, 1593:

$2{\frac {2}{\sqrt {2}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\ldots =\pi$

• Formula de Leibniz:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

d'a quale se recave ca:

${\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+{\frac {1}{13\cdot 15}}+{\frac {1}{17\cdot 19}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}$

• Prodotte de Wallis:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• 'U probbleme de Basilea:

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

resolte da Eulero. N'otre formule ca ause 'a funziune zeta de Riemann:

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

• 'U prodotte de Eulero

${\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)}}\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Addò'u prodotte percorre totte le numere prime

• Le 'ndegrale de Gauss:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$

• Le 'ndegrale de Eulero

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}$

• Le seguende 'ndegrale definite

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+{x^{2}}}}\,dx=\pi$

$\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {sen} (x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

• Le 'ndegrale de Fresnel

$\int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sen} (x^{2})\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$

• 'A funziune gamma calcolate jndre $1/2$:

$\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$

• L'approssimazione de Stirling:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

• 'A funziune phi de Eulero:

$\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}$

• 'A identità de Eulero:

$e^{\pi i}+1=0\;$

definite da Richard Feynman «'a cchiù notevole formule d'a matemateche».

• 'U Teoreme de le residue:

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$

• π tène de le rappresentazione cumme fraziune condinue:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}$

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+{\frac {11^{2}}{2+...}}}}}}}}}}}}$

• 'A frazione condinue de Ramanujan:

${\sqrt {\phi ^{2}+1}}=\phi +{\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}$

• Date 'na semicirconferenze de ragge r cendrata jndr'à origggene d'u piane cartesiane, $\pi r$ jè definibbele cumme lunghezze jndre forme cartesiane esplicite sus a totte 'u dominie d'a funziune ca descrive 'a semicirconferenze:

$f\left(x\right):={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$\pi ={\frac {1}{r}}\int _{-r}^{r}{\sqrt {\left({\frac {d}{dx}}f\left(x\right)\right)^{2}+1}}dx$

$={\frac {1}{r}}{\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}+1}}dx}$

$={\frac {1}{r}}[{\mathrm {arcsen} \left(r\right)-\mathrm {arcsen} \left(-r\right)]}$

Teorie de le numere

Pe approfondimende, 'ndruche 'a vôsce teorie de le numere.

• 'A probabbeletà ca dò 'ndere pigghiate a case pòtene esse prime 'mbrà lòre jè de :${\frac {6}{\pi ^{2}}}$
• 'U numere medie de mode jndre cui jè possibbele scrivere 'nu 'ndere positive cumme somme de dò quadrate perfette jè :${\frac {\pi }{4}}$.

Sisteme dinameche, teorie ergodiche

Pe approfondimende, 'ndruche le vôsce sisteme dinameche (teorie de le sisteme) e teorie ergodiche.

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$ pè quase totte le reale x₀ jndre [0, 1] addò le x_i sonde iterazione d'a Mappe logisteche pè r = 4.

Probabilità e statisteche

Pe approfondimende, 'ndruche le vôsce probabilità e statisteche.

• 'A funziune de denzetà de probabilità jndr'à distribuzione normale.

$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}$

• 'U naturaliste frangise Georges-Louis Leclerc, conte de Buffon, scuprì ca lassanne cadè 'nu aghe sus a 'na superficie piane cumme 'nu pavimende cu de le linee parallele distande quanne 'a lunghezze de l'aghe, 'a probabilità ca quiste urteme cade toccanne une de le linee jè esattamende auguale a 2/π, ca equivale a cirche 'u 64%. Quiste probbleme jè canosciute cumme Aghe de Buffon.

Aerodinameche

Pe approfondimende, 'ndruche 'a vôsce aerodinameche.

• 'A massime pendenze (teorie de Glauert) d'u tratte lineare d'a curve $C_{L}/\alpha$ (ovvere coefficiende de portanze divise l'angole d'attacche) pè qualsiase profile alare bidimensionale sottile jè $2\pi$

Fiseche

Pe approfondimende, 'ndruche 'a vôsce fiseche.

• Periode de oscillazione d'u pendole

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

• Trasfurmate de Fourier

${\mathcal {F}}f(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t$

• Prengipie de 'ndeterminazione de Heisenberg

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{2\pi }}$

• Equazione de cambe de Einstein d'a relatività generale

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$

• Forze de Coulomb

$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$

Approssimazione numereche de π

A cause d'a soje nature trascendende, non ge sonde semblice espressione finite ca rappresendane π. De conseguenze le calcule numereche onne dà ausà approssimazione d'u numere. Jndre assaje case, 3,14 jè sufficiende, me assaje ingegnere spesse ausane 3,1416 (cinghe cifre segnefecative) o 3,14159 (6 cifre segnefecative).

'Nu scribe egizie de nome Ahmes jè 'u scrittore d'u cchiù andiche teste canosciute contenende 'na approssimazione de $\pi$, 'u papire de Rhind, datate a 'u XVII sèchele a.C. e descrive 'u valore cumme 256/81 oppure 3,160.

Archimede elaborò 'nu metode cò cui jè possibbele ottenè approssimazione comungue bbuene de π e le ause pè demostrà ca jidde jè combrese 'mbrà 223/71 e 22/7 ('a medie de le dò valure jè cirche 3,1419).

'U matemateche cinese Liu Hui calcule π cumme 3,141014 (scurrette d'a quarte cifre decimale) jndr'ô 263 e suggerì 3,14 cumme bbuene approssimazione.

'U matemateche ed astronome cinese Zu Chongzhi calcule jndr'ô V sèchele π cumme combrese 'mbrà 3,1415926 e 3,1415927 e diede dò approssimazione de π: 355/113 e 22/7.

'U matemateche ed astronome iraniane Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcule le prime 9 cifre 'n base 60 de π, ca sonde equivalende jndr'à base decimale a le 16 cifre:

2 π = 6,2831853071795865

'U matemateche tudesche Ludolph van Ceulen (1600 cirche) calcule le prime 35 decimale. Ere accusì fiere d'a fatije soje ca 'a fece scrive sus 'a soje lapide.

'U matemateche slovene Jurij Vega jndr'ô 1789 calcule le prime 140 cifre decimale de π, de cui le prime 137 erene currette, e mandenne 'u record munndiale pè 52 anne, fine a 'u 1841, quanne William Rutherford calculò 208 cifre decimale de cui le prime 152 erene currette. Vega migliore 'a formule proposte da John Machin jndr'ô 1706.

Nisciune de le formule elengate sus pòte fornì 'nu efficiende metode pè l'approssimazione de π. Pè calcule veloce, se pòte ausà 'na formule cumme quèdde de Machin:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

'Nzieme cu l'espanzione de le serie de Taylor pè 'a funzione arctan(x). Quèste formule se pòte verifecà facilmende ausanne le coordinate polare de le numere comblesse, partenne da:

$(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244\,i.$

Formule de quiste genere sonde canosciute cumme formule de tipe Machin.

Espanzione decimale assaje luènghe de π sonde calculate tipicamende cu l'algoritme Gauss-Legendre e l'algoritme Borwein; jndre le timbe passate ere ausate pure l'algoritme Salamin-Brent, 'nventade jndr'ô 1976.

L'elenghe d'u prime miglione de cifre de π e de 1/π se pòte trovà sus ô Pruggette Gutenberg (vide 'u cullegamende esterne a 'u funne d'a pàggene). 'U record attuale (decemmre 2002) jè de 1.241.100.000.000 de cifre (1,2411 × 10 ¹²), calculate jndr'ô settemmre 2002 da Yasumasa Kanada sus a 'nu supercomputer Hitachi a 64 node cu 'nu terabyte de memorie prengepale, capace de combiere 2 migliarde de operazione pè seconne, quase 'u doppie d'u computer ausate pè 'u precedende record (206 migliarde de cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

K. Takano (1982).

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

F. C. W. Störmer (1896).

Quèste approssimazione sonde accusì comblesse da non esse utile pè nisciune scope pratiche, se non pè provà le prestazione de nuève supercomputer o pè analise statisteche sus a le cifre de pi greche. z Jndr'ô 1996 David H. Bailey, 'nzieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scuprì 'na formule nuève pè calculà π cumme serie 'nfinite: $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

Quèste formule permette de calculà facilmende 'a k-esime cifre binarie o esadecimale de π senze dovè calculà totte le cifre precedende. 'U site web de Bailey ne tène l'implementazione jndre varie lèngagge de programmazione.

Alcune otre formule ausate pè calculà stime de π sonde:

• ${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots$

da Newton.

• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

da Ramanujan.

• ${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

da David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.

• ${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}-8\arctan {\frac {3}{79}}$

da Eulero.

• ${\frac {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}}}={\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{15}}\right)\left(1+{\frac {1}{35}}\right)\cdots }{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}+\cdots }}=\pi$

nota come Formule simmetriche

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\sqrt {2}}-1)^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{8}}.$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2-{\sqrt {3}})^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{12}}.$

da Chebyshev

• $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}$

Storie

'U simbole π pè 'a costande de Archimede jè state 'ndrodotte jndr'ô 1706 da 'u matemateche 'nglise William Jones quanne pubbleche A New Introduction to Mathematics, pure ce 'u stesse simbole fosse state ausate 'n precedenze pè indicà 'a circonferenze d'u cerchie. 'A notazione devende de ause comune dope ca 'a utilizzò Eulero. Jndre totte e dò le case π jè 'a prime lettere de περίμετρος (perimetros), ca segnefeche «mesure 'ndorne» jndr'ô greche. Inoltre 'u simbole π venne ausate a l'inizie da 'u stesse William Jones ca, jndr'ô 1706 le ause in onore de Pitagora (l'iniziale de pitagora jndr'ô alfabbèto greche jè appuntde Π, me trattannose de 'nu numere se preferisce ausà 'a minuscole). Tuttavie, angore jndr'ô 1739 ô svizzere Eulero ausave 'u simbole p.

Ecco una breve cronologia di π:

Jndr'à andichità

• XX sèchele a.C.: le Babilonese ausavane 25/8 pè π (=3,125)
• XX sèchele a.C.: le Egizie (Papire de Rhind) ausane π = (16/9)² = 3,1605
• XII sèchele a.C.: le Cinese ausane 3 pè π
• 550 a.C.: Jndr'ô Andiche Testamende se dice (non esplicitamende) ca 'u π jè auguale a 3
• 434 a.C.: Anassagora tende 'a quadrature d'u cerchie cu righe e combasse
• 430 a.C.: Antifonte 'u sofiste e Brisone de Eraclea esprimone 'u prengipie de esaustione
• 335 a.C.: Dinostrato ause 'a quadratrice pè quadrà 'u cerchie
• III sèchele a.C.: Archimede, ausanne l'esaustione e 'u metode de combressione, calcule sus a poligone de 96 late ca 223/71 < π < 22/7, e trove inoltre l'approssimazione π = 211875/67441 = 3,14163...
• I sèchele a.C.: Vitruvio ause 25/8
• II sèchele d.C.: Tolomeo ause π = 377/120 = 3,14166...
• III sèchele d.C.: Chang Hong ause π = √10, Wang Fau ause π = 142/45 e Liu Hui ause π = 157/50

Jndr'ô Medioeve

• V sèchele (450 cirche): Zu Chongzhi (Tsu Ch'ung-chih) scupre ca 3,1415926 < π < 3,1415927, e ause 'u valore 355/113 = 3,1415929...
• VI sèchele(530 cirche): Aryabhata, in India, ause 'u valore 62832/20000
• VII sèchele(650 cirche): Brahmagupta, jndr'à Indie, ause 'u valore √10
• IX sèchele: al Khwarizmi ause 3,1416
• 1220: Fibonacci ause 'u valore 3,141818
• 1430: al Kashi calcule le prime 14 cifre de π

Mesure moderne

• 1573: Valenthus Otho calcule le prime 6 cifre de π
• 1593: François Viète calcule 9 cifre de π e Adriaan van Roomen 16 cifre
• 1596: Ludolph van Ceulen calcule 20 cifre de π
• 1610: van Ceulen, 35 cifre
• 1621: Willebrord Snell perfezzione 'u metode de Archimede
• 1654: Huygens demostre 'a validità d'u perfezzionamende de Snell
• 1655: John Wallis scupre 'nu prodotte 'nfinite raziunale pè π; Brouncker ô converte jndre 'na frazione condinue
• 1663: Muramatsu Shigekiyo jndr'ô Giappone scupre 7 cifre decimale esatte
• 1665: Isaac Newton scupre 'u calcule 'nfinitesimale e calcule 'u π fine ad 'a 16ª cifre decimale
• 1671: James Gregory scupre le serie de le arcotangende
• 1674: Gottfried Wilhem Leibniz scupre 'a serie de le arcotangende pè π
• 1699: Abraham Sharp, 72 cifre
• 1700: Seki Kowa jndr'ô Giappone calcule 10 cifre
• 1730: Kamata jndr'ô Giappone calcule 25 cifre
• 1706: John Machin, 100 cifre
• 1713: 'A Corte Cinese pubbleche 'u Su-li Ching-yun e presende le prime 19 cifre decimale de π
• 1719: Thomas Fantet de Lagny calcule 127 cifre, de cui 112 sonde currette
• 1723: Takebe Kenko jndr'ô Giappone calcule 41 cifre
• 1734: Pigghiate da Eulero, l'ause d'u simbole π se spanne
• 1739: Matsunaga, 50 cifre
• 1748: Eulero pubbleche l'Introductio in analysis infinitorium contenende 'u accussì ditte Teorema di Eulero e assaje serie pè π e π²
• 1761: Johann Heinrich Lambert prove ca π jè 'nu numere irraziunale
• 1775: Eulero derive 'na serie de arcotangende rapidamende convergende e ipotizze ca π pòte esse 'nu numere trascendende

Mesure condemporanee

• 1794 – Jurij Vega, 140 cifre, de cui 136 sonde corrette
• 1794 – Adrien-Marie Legendre demostre ca π² (e accussì π) ète irrazionale, e conzidere 'a possebiletate ca π sije trascendende
• 1824 – William Rutherford calcule 208 cifre, de cui 152 sonde corrette
• 1844 – Johann Dase calcule 200 cifre
• 1847 – Thomas Clausen, 248 cifre
• 1853 – Lehmann, 261 cifre
• 1853 – William Rutherford, 440 cifre
• 1855 – Richter, 500 cifre
• 1874 – William Shanks, 707 cifre, me sule 527 sonde corrette
• 1874 – Tseng Chi-hung calcule jndr'à Cine 100 cifre
• 1882 – Ferdinand von Lindemann demostre ca π ète trascendende
• 1947 – D. F. Ferguson: 808 cifre calculate jndre quase 'nu anne, ausanne une de lle prime calculatrice da tavele
• 1948 – George Rietwiesner, John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis: 2.037 cifre calculate jndre 70 ore ausanne l'ENIAC
• 1954 – 'A marine statunitense ha calculate 3.089 cifre jndre 13 minute ad 'a presendazione d'u NORC ('u supercombiuter commissiunate ad 'a IBM)
• 1958 – "Paris Data Processing Center": 10.000 cifre calculate jndre 'na ore e 40 minute ausanne un IBM 704
• 1961 – John Wrench e Daniel Shanks (nisciune parendele ccu William Shanks): 100.265 cifre jndre 8 ore e 43 minute, ausanne 'nu IBM 7090
• 1966 – "Paris Data Processing Center": 250.000 cifre de pi greche ausanne 'nu IBM 7030 Stretch
• 1967 – "Paris Data Processing Center": 500.000 cifre ccu 'nu combiuter CDC 6600
• 1973 – Jean Guilloud e M. Bouyer: 1.000.000 cifre calculate jndre 23 ore e 18 minute ccu 'u combiuter CDC 7600
• 1976 – Eugene Salamin e Richard Brent svelupparene 'ndependendemènde 'nu algoritme quadratecamènde convergende pe' iu calcule d'u Pi greche, algoritme ca nnande ète resultate assaje auguale a quidde pe' 'a valutazione de lle 'ndegrale ellitteche de Carl Friedrich Gauss
• 1982 – Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada: 8.388.608 cifre jndre mène de 30 ore ccu l'algoritme de Gauss-Brent-Salamin, ccu 'nu Hitachi M-280H
• 1988 – Yasumasa Kanada: 201.326.000 cifre calculate jndre 6 ore ausanne 'nu Hitachi S-820
• 1989 – le fratièdde David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 480.000.000 de cifre
• 1989 – Yasumasa Kanada: 536.000.000 de cifre
• 1989 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 1.000.000.000 de cifre (1 migliarde)
• 1995 – Yasumasa Kanada: 6.000.000.000 de cifre (6 migliarde)
• 1996 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: cchiù de 8.000.000.000 de cifre (8 migliarde)
• 1997 – Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura: 51.539.607.552 de cifre (51,5 migliarde) calculate jndre picche cchiù de 29 ore ausanne 'nu combiuter Hitachi SR2201
• 2002 – Yasumasa Kanada: 1.241,1 migliarde de cifre calculate jndre 600 ore (25 sciùrne) ccu 'nu Hitachi SR8000/MPP a 64 node. Ôsce a die (2009) quiste record non g'ète state superate.

Questione apirte

'A cchiù pressantde questione apirte sus a π arreguarde 'u fatte ca sije o mène normale, cioè ce 'a frequenze ccu cui ète presende ogne sequenze de cifre sije 'a stesse ca ce s'ha ddà aspettà ce le cifre fùssere combletamènde casuale. Quiste ha ddà esse vere jndre ogne base, non sule jndre base 10. Non ge savìme assaje sus a quiste.

Bailey e Crandall demostrarene jndr'ô 2000 ca l'esistenze d'a formule menziunate aqquà sus, Bailey-Borwein-Plouffe e formule augule vuè ccu dìce ca 'a normaletate jndre base 2 de π se deduce da 'na plausibbele congetture d'a teorie d'u caos. Vide 'u site web menziunate aqquà sus de Bailey pe' cchiù 'mbormazziune.

'A nature de π

Mendre, jndr'à sciumetrije euclidee, 'a somme de lle angole 'nderne de 'nu triangole mesurate jndre radiande ète auguale a π, jndr'à lle sciumetrije non-euclidee 'a stesse somme pòte ccu esse cchiù granne (sciumetrije ellittica) o cchiù piccele (sciumetrije iperboleche) ed 'u rapporte 'mbrà 'na circonferenze ed 'u soje diametre pòte non g'essere π. Quiste non ge cange 'a definizione de π, me 'nfluisce sus a qualsiase formule jndre cui appare π. Accussì, n'particolare, π non g'ète cullegate ad 'a forme de ll'universe; ète 'na costande matemateche, non fiseche.

'A legge de l'Indiana sus a π

'Nu divertènde aneddote ca arreguarde π seconne 'u quale 'nu state de lle USA ha circate ccu fisse pe' legge 'u valore ad 'u numere 3, tène effettivamènde quacche radice storeche. Ô state de cui ce stè parle ère l'Indiana, addò jndr'ô 1897 'u deputate T.I. Record, d'a condèe de Posey, ha presendate ad 'a Camere de le Deputate 'nu designe de legge redatte da 'u matemateche e fiseche dilettande Edward (o Edwin) J. Goodwin.

Jndr'ô teste d'u designe de legge, Goodwin se presendave cumme 'u solutore de le prubbleme d'a trisezione de ll'angole, d'a duplicazione d'u cube, e d'a quadrature d'u cerchie (prubbleme le 'mbossibbeletate d'a cui soluzione ère già a ll'epoche ambiamènde demostrate). 'U soje designe de legge arreguardave le 'ndroduzione de 'na "nuève veritate matemateche" conzistènde jndr'ô soje metode pe' 'a quadrature d'u cerchie. 'U teste n'effette non ge menziune specifecamènde π, pure ce l'effette prateche sije quidde ccu fisse 'u valore. 'U designe de legge ète confuse e condène affermaziune sorprennènde, 'ndrodotte da frase d'u tipe: "Pe' 'u fatte ca 'a regghele ôsce a die jndr'à ll'ause ... non ge funziune ..., ète opportune ca jèdde avène refiutate cumme 'nzufficiènde e 'ngannevole pe' le applicaziune prateche.". Abbesogne ccu note ca, pure cumme quadrature d'u cerchie, quèdde de Goodwin ère 'na procedure assaje scadente, ca dà pe' le aree coinvolte 'nu errore relative de 1−π/4, cirche 'u 21% ('nu cerchie de aree augule a 80 ha ddà tenè, ausanne 'a regghele de Goodwin, 'na aree de cirche 64).

Oltre ccu fisse scorrettamènde 'u valore de

${\sqrt {2}}=10/7\approx 1,429$

ed a seconne d'a letture ca n'avène date, 'a procedure de Goodwin fisse da ttré a nôve nuève valore pe' π discennènde da deverse affermaziune presende jndr'ô teste e jndre scritte de Goodwin sus 'a questione. Alcune presende jndr'ô teste sonde:

• 'a circonferenze de 'nu cerchie stè ad 'u diametre cumme 5/4 a 4, da cui π ha ddà valè 16/5 o 3,2;
• l'aree de 'nu cerchie ète auguale a ll'aree de 'nu quadrate 'u cui late ète auguale ad 1/4 'a circonferenze d'u cerchie, da cui π ha ddà valè 4;
• 'u rapporte 'mbrà 'nu arche de 90 grade ad 'a soje corde ète 8/7: quiste ha ddà renne π auguale a

${\sqrt {2\times 16/7}}\approx 3,23$.

Ad 'u pruggette de legge ha state assignate 'u numere 246 e avène assignate a ll'esame d'a Commissione pe' le vanne palustre, ca se dechiare 'ngombetènde ed ô 'nvije ad 'a Commissione pe' l'educazzione. Quèste, ccu parere favorevole, ô rrenvije n'otra vôte a ll'aule, addò fu appruvate a ll'unanimitate ccu 'nu vote de 67 a 0. Une de le motive d'u vote fu ca 'u "professor" Goodwin, pur avènne brevettate 'u proprije metode, ô offrive jndre usufrutte gratuite a lle scole de ll'Indiana.

Pe' 'u passagge ad 'u Senate, 'u Bill 246 fu 'nviate ad 'a Commissione pe' 'a Temberanze, ca ô approve jndr'à prime letture. Stanne ad 'u Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers 'u designe de legge ha state nnande affunnate quanne 'nu membre d'a commissione ô mostre a Clarence Abiathar Waldo, 'nu professore de matemateche ad 'a Purdue University ca se iacchieve jndr'à ll'edificie d'u Senate pe' otre faccende, chiedennole ce le sarebbe chiaciute ccu canosce 'u geniale autore. Waldo riespose ca canosceve già assaje pacce e passe totte 'a vanne rumanènde d'a sciurnàte e 'na vanne d'a notte ccu parle ccu otre Senatore d'a Commissione. 'U Bill 246 non ge se n'ète sciùte maje jndr'à seconde letture.

Cumme se vide, 'a proposte non g'ère ccu porre π a 3: 'u fatte ca 'a versione cchiù populare de ll'aneddote ripuerte quiste numere derive forse da 'u fatte ca jndr'à ll'andichitate jidde ère assaje spesse ausate cumme valore approssimate, cumme pe' esembie se pòte vedè da 'u seguende passe bibbleche:

«Jidde fece 'u mare cumme 'na granna vasche de bronze fuse, dice cubite da 'na vanne a ll'otra: ère perfettamènde circolare. 'A soje ìrtèzze ère cinghe cubite e 'na linee de trènde cubite mesurave 'a soje circonferenze»

(Cronache, 4:2)

Approssimazione de Pi greche

Sonde aqquà elengate alcune approssimaziune d'u pi greche.

• $\pi \simeq 3,14159\,\,\,26535\,\,\,8979\dots$
  
  
• 'A fraziune ${\frac {355}{113}}=3,14159\,\,\,29...$ ète une de lle cchiù semblice approssimazione razionale ccu numere de 3 cifre.
  
  
• $^{64}{\sqrt {\frac {708}{37}}}\cdot {3}=3,14159\,\,\,2652\dots$
  
  
• $^{1,8}{\sqrt {\frac {157}{20}}}=3,14159\,\,\,21\dots$
  
  
• ${\sqrt {\frac {73}{1250}}}\cdot {13}=3,14159\,\,\,19\dots$
  
  
• $^{3}{\sqrt {31}}=3,1413\dots$
  
  
• $^{5}{\sqrt {306}}=3,14155\dots$
  
  
• $^{4}{\sqrt {\frac {2143}{22}}}=3,14159\,\,\,26525\dots$
  
  

Culture legate a 'u Pi greche e curiosità

• C'ète 'nu 'ndere cambe de studie divertende, me serie, ca arreguardane l'ause de tecneche de memorizzazione ccu recorde le cifre de π. Esempbie: "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione". Oppure: "Ave o Roma, o madre gagliarda di latine virtù, che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza". Cundanne le lettere de ogne parole d'a frase se 'ndividuane le prime 14 (e 19 jndr'ô seconne case) cifre decimale de π: 3,14159265358979. 'Na forme mnemoneche cchiù avanzate ète "Che n'ebbe d'utile Archimede, da ustori vetri, sua somma scoperta? Umanitade incerta, infantile, che ad ogni progenie vede negato il divin vero. Ma non combatte già la terrema fragilità."

• Ce stonne gare organizzate pe' 'a recite a memorie de lle cifre de pi greche, e pure record mondiale. Jndr'ô 2002 'u giappunise Akira Haraguchi de Chiba, 59 anne, ha recitate a memorie 83.431 cifre . 'U record ufficiale, recanosciute da 'u Guinness Book of Records, appartène tuttavije ad 'u cenise Lu Chao d'ô Jiangxi, ca 'u 19 novèmmre 2005, a ll'etate de 24 anne, ha recitate 67.890 cifre satte-satte, 'mbieganne 24 ore e 4 minute . 'U record ca stàve d'apprìme apparteneve ad 'ô studende giappunise Hiroyuki Goto, ca jndr'ô 1995 ère arrevate "sule" a 42.192 cifre.

• 'A popstar Kate Bush ha 'nderamènde dedicate ad 'u numere π 'u seconne brane ('nditolate pe' l'appunde π) d'u soje ottave album Aerial, d'u 2005, jndr'ô quale reciterebbe le soje prime 140 cifre. Me pure otre museciste ed artiste n'genere honne dedicate alcune lòre opere ad 'a costande.

• 'U 14 marze se celebre 'u "sciùrne de pi greche", n'quante jndr'à soje scretture anglosassone (3/14) jidde arrecuerde l'approssimazione cchiù comune de π. Pi greche se celebre pure 'u 22 luglie, n'quanne jndr'à soje scretture numereche (22/7) jidde arrecuerde 'a frazione ca megghie approssime 'u valore de π.

Bibliografije

• Giovanni Gentili Belloni, Pi greco - 4000 anni di storia dalle Piramidi al computer, Edizioni Lulu, 2007.
• Jean-Paul Delahaye, L'affascinante numero π, Ghisetti e Corvi Editori, Milano, 2003, ISBN 88-8013-905-3
• David Blatner, Le gioie del π, Garzanti, Milano, 1999
• Petr Beckmann, A History of π. St. Martin's Press; 1971.

Sus 'a legge de ll'Indiana:

• "Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp. 136-140).
• David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69-72)

'Ndruche pure

• Calcule de pi greche
• Cerchie
• Circonferenze
• Idendetate de Eulero
• Aghe de Buffon
• Papire de Rhind
• Quadrature d'u cerchie
• Sciùrne d'u pi greche
• Pi greche (prime 100 mile cifre)

Otre pruggette

Altri progetti

• Uicchisorggende
• Uicchimedie Commons

• Uicchisorggende tène 'na pàgene dedicata a Pi greche
• Uicchimedie Commons tène files multimediale sus Pi greche

Collegamende fore a Uicchipèdie

Site sus 'a storie de π

• J J O'Connor e E F Robertson: A history of Pi. Mac Tutor project
• Ad 'a recerche d'u valore de Pi
• PlanetMath: Pi
• Storie d'u calcule de Pi de Alessandra Del Piccolo - Progetto Polymath
• (EN) Richard Preston, The Mountains of Pi, su newyorker.com, New Yorker, 2 marzo 1992. URL conzultate il 27 luglio 2009.

Site cu le cifre de π

• http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com
• Statisteche sus a lle prime 1,2 migliarde de cifre de pi
• 'Nu teste d'u Pruggette Gutenberg contenènde 'nu miglione de cifre de pi
• Pi-memory

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